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　　赵爽“证明”勾股定理与欧几里德的证明不能相提并论

　　作者：abada

　　数学（包括几何学）里的定理或命题的“证明”，是一个逻辑体系的推演结
果，这个体系里，定理证明的前提是有公理体系和逻辑推演体系。显然，欧几里
德的毕达哥拉斯定理的证明属于这样的体系，而中国古代的赵爽或世界上其他古
人的所谓“证明”，就不见得是属于类似的体系，也就不见得是现代意义上真正
的数学证明。

　　黎日工《中国也能独立产生自然科学——从勾股定理谈起》一文中写到，
“中国最早证明的是三国时期吴国数学家赵爽，大约在公元300年证明了勾股定
理。他给出的构图证法直观而简洁：先把一对直角三角形沿弦边拼成一个矩形，
把四个一样的矩形围成一个正方形，于是四条弦边也围成一个正方形，弦边正方
形中有四个直角三角形及中间一个小正方形“洞”，这五小块面积加起来应等于
弦边平方即弦边正方形面积，于是就推出勾股定理：弦平方等于勾平方加股平方。
你不妨在纸上操作一遍，定会叹服这位一千七百年前的古人。”

　　其实，赵爽的所谓证明，如果没有有体系的前提步骤，则仍然属于直觉归纳，
正如东郭先生在《勾股定理的历史验证了杨振宁的理论》一文所说的。

　　仔细考虑赵爽的证明，他摆出的“弦边正方形”中，的确有四个直角三角形
及中间一个小“洞”，但是，怎么保证那个大正方形就一定能摆成？这里本身就
需要证明。例如，可能需要“三角形内角和等于平角或2倍的直角”的定理来证
明这个图形的成立。而“三角形内角和等于平角或2倍的直角”的定理，却可能
需要平行公理来证明。

　　也就是说，要严格地逻辑推演证明勾股定理，并非赵爽那样简单，而是最后
要落实到平行公理上。另外，欧氏几何本身的更严格的公理化，以及这些公理的
完备性和无矛盾性，却是在20世纪大数学家希尔伯特等工作下才完成的。

　　问题就在于，平行公理也并非真实世界的“真理”，而是人假定的一个几何
学逻辑公理前提。在另外的几何学里，比如非欧几何（包括黎曼几何），恰恰把
平行公理之不成立作为前提。这时，三角形内角和就不等于平角了，赵爽的图形
也就摆不正了，勾股定理也就不是那么回事了，就必须修改了。

　　实际上，根据爱因斯坦的广义相对论，在大范围宇宙里或物质能量密度较大
的空间中，非欧几何恰恰比欧氏几何中用，也就是通常讲的勾股定理并不成立。

(XYS20050410)

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